Да, фамилия Синица склоняется (и мужская, и женская).
Правильны оба варианта.
Возможны оба варианта - склоняемый и несклоняемый.
Правилен второй вариант.
Верно: избегать (чего?) Синей яхты.
Да, вероятнее всего, этимологически слова синий и синица связаны друг с другом. Синица названа так по цвету оперения (в котором в верхней части тела преобладают синий и зеленовато-голубой цвета). Хотя среди лингвистов есть и другое мнение (что современное синица восходит к зиница от звукоподражания зинь и птица получила свое название сначала по характерным для нее звукам, а затем уже по цвету оперения), тем не менее большинство ученых все же возводят синица к синий.
В современном русском языке в слове синица выделяется корень син- и суффикс -иц.
Эти фамилии склоняются.
