В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова слово тойота зафиксировано как существительное женского рода (см. словарную фиксацию).
Написание зависит от того, как официально зарегистрировано название центра. В любом случае название следует писать в кавычках.
Оба варианта корректны. В первом случае образуется сочетание продлить Кириллу, а во втором — арест Кирилла.
Приведенный пример корректен.
Не в официальных текстах верно написание со строчной буквы: патриарх.
Иль-де-Франс – существительное мужского рода. Оно может выступать как склоняемое существительное, а может и не склоняться – словари допускают возможность выбора.