Корректно: седина в бороду, бес в ребро.
Кавычки в данном случае ставятся по усмотрению автора.
Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Нормативно ударение на первом слоге. См. словарную фиксацию.
Верно (о книге, которая принадлежит Пете): Петина книга.
Правильно: Мавзолей Ленина.