Правильно: служить Отечеству, служить на благо Отечества.
Корректно: Я бы советовал молодежи служить в армии; Я бы советовал молодежи идти в армию.
Правильно: служить Родине-матери.
См. ответ на вопрос № 269217.
Воспользуйтесь словарями рубрики "Искать на Грамоте" для выполнения этого задания.
Это составное глагольное сказуемое.
Обратитесь, пожалуйста, к словарям рубрики "Искать на Грамоте" на нашем портале.