Следует писать без кавычек и с маленькой буквы: салат корн, салат айсберг, салат фризе и т. д.

Корректно: салат оливье. Написание в кавычках с прописной может быть уместно, если название салата выступает в ряду других условных названий как обозначение торговой марки.

Корректно: салат корн, салат мангольд.

См. вопрос 275224.

Здесь нет ошибки.

Возможны оба варианта.

У несклоняемых иноязычных существительных, оканчивающихся на гласный и обозначающих неодушевленные предметы, часто возникают колебания в родовой принадлежности, т. к. внешний облик слова втягивает их в парадигму среднего рода, а русский синоним или устаревшая форма слова могут подсказывать иное согласование (именно поэтому мы столько спорим о роде слова кофе). Но в данном случае влияние родового слова салат пока сильнее, поэтому в словарях русского языка оливье мужского рода: вкусный оливье.

Литературная норма: помидоров, баклажанов. В разговорной речи допустим вариант баклажан.

Может быть, из языков с огурцом?

Можно. Но лучше: Какое масло ты используешь для салата, добавляешь в салат и т. д.