Гамбургский счет  – об оценке чего-нибудь без скидок и уступок, с предельной требовательностью. Из сборника критических статей В. Шкловского под названием «Гамбургский счет» (1928). В предисловии Шкловский писал, что выражение по гамбургскому счету услышано им от бывшего циркового борца. Борцы будто бы съезжались в Гамбург и  проводили закрытый турнир для выяснения истинной силы каждого. Но, по-видимому, гамбургский счет - собственное выражение Шкловского. По предположению Л. И. Скворцова («Вопросы культуры речи», 1965, вып. 6), отсюда возникло выражение по большому счету.

Согласование формальное – по названию должности (т. е. по мужскому роду): Самарский государственный университет в лице ректора Ивановой Галины Ивановны, действующего...

Правильно: обучался в Самарском областном институте, с родовым наименованием ГОУ название заключается в кавычки и не склоняется: обучался в ГОУ «Самарский областной институт».

Это неофициальное наименование, но уже вполне закрепившееся. Возможно как написание с прописной буквы (оно  покажет, что перед нами название документа), так и со строчной буквы (оно будет прочитываться как официальное название с предшествующим определением).