Верно: Надежда и Осип Мандельштам, Надежде и Осипу Мандельштам.
Корректны оба варианта.
Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Следует использовать существительное надежда в форме единственного числа.
Игры назывались "Старты надежд".
Правильно: оправдать надежды, не оправдать надежд.