Правильно: гелевая ручка. Гелевый – прилагательное от гель, гелиевый – от гелий (гелиевое ядро).
В значении 'отделенный' верны оба варианта. Обрезанный может означать также 'укороченный'.
Мы не выполняем домашние задания. Но Вам помогут словари, опубликованные на нашем портале. Воспользуйтесь строкой «Искать на Грамоте».
Выражение некорректно.
Это спорный вопрос, в разных словарях он решается различно.
Правильно: ручка с тонким стержнем.
Тире здесь возможно как интонационный знак. Решение принимает автор текста.