К сожалению, у нас нет возможности обратиться к диалектологической словарной базе.
Верно: с Иоанном Дамаскином.
Второй вариант стилистически лучше.
Сочетание решить проблему корректно и зафиксировано в словарях.
Оба варианта возможны.
Да, это корректное сочетание.
Тире не требуется.
Это нарушение лексической сочетаемости: решить можно, например, задачу, а упражнение выполняют.