Здесь один суффикс — -ичк-.

В авторском тексте возможны разные решения. В общем случае название велосипеда надо заключить в кавычки: Мы положили «Русич» в кузов и дальше поехали вместе. Если Вы дали велосипеду прозвище (как домашнему питомцу), то оно употребляется без кавычек и может мыслиться как одушевленное существительное: Мы положили Русича в кузов и дальше поехали вместе.

Да, можно сказать та русалка, что вместо та русалка, которая. Союзное слово что употребляется для присоединения придаточной части сложноподчинённого предложения, которая определяет соответствующее слово главной части, сообщает дополнительные сведения о названном им объекте (в том числе одушевленном).  Ср.:

И мальчик, что играет на волынке,
И девочка, что свой плетет венок,
И две в лесу скрестившихся тропинки,
И в дальнем поле дальний огонек...

(А. Ахматова)

Возможны оба варианта. В соответствии с современными правилами эти варианты равноправны. 

Слово брусничина существует, но считается разговорным. Стилистически нейтральный вариант: одна ягода брусники.

Суффикс -ичк-, конечно, существует, он отмечается морфемными словарями как образующий названия лиц женского пола, характеризующиеся отношением к тому, что названо (кто назван) мотивирующим словом. Но внешне похожие слова (например, оканчивающиеся на -ичка) могут иметь разную историю и разную словообразовательную структуру. Об истории названий женщин рассказывает И. В. Фуфаева в книге «Как называются женщины. Феминитивы: история, устройство, конкуренция» (М., 2020). Об образовании многих слов, в том числе феминитивов, Вы можете узнать из «Большого толкового словаря русского языка» под ред. С. А. Кузнецова, см., например, статью «Географ», в которую включено слово географичка.

Правильно: в школе-интернате.

Как окказионализм изредка встречается слово гречинка, ср. у М. И. Цветаевой: …если гречневая каша — хоть бы одна гречинка! — вместо этого горла попадет в то…

Если это производное от Родя (Родион), то правильно: Родечка.