Правильно: в школе-интернате.
И в этом случае кавычки не нужны. Географические названия (в том числе названия поселков) в кавычки не заключаются. Что касается склонения топонима, то справочные пособия рекомендуют не изменять по падежам название, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Поэтому предпочтительно: в поселке Росинка.
Оба сочетания возможны.
Предлагаем такой вариант: Определите, воспользовавшись таблицей...
Принято говорить: куриная грудка.
Написание проверяется по орфографическому словарю.
Вы написали правильно: кубик Рубика.