Лучше с инфинитивом: намерение сотрудничать.
Возможно, Центр геологических исследований?
Правильно написание со строчной буквы: центр, в центре работают специалисты...
Лучше всего использовать такой вариант: Совет при Учреждении Российской академии наук «Вычислительный центр РАН».
Запятая между однородными придаточными предложениями не нужна.
Слова визовый центр пишутся с маленькой буквы: официальный сайт визового центра Франции.
ГИБДД – существительное женского рода: российская ГИБДД.
В большинстве контекстов корректным будет написание со строчной.
Следует переформулировать, например: Благодарим Вас за инициативу, проявленную в ходе сотрудничества; Благодарим за инициативу и сотрудничество.