ГИБДД – существительное женского рода: российская ГИБДД.
Правилен второй вариант.
Правильно: государственная граница Российской Федерации.
Верно написание строчными буквами.
Корректно именно так: Библиотека Конгресса США.
Верно: библиотека Российской академии наук (о неавтономном учреждении) и Библиотека Российской академии наук (об автономном учреждении).
Верно: библиотеки вузов.