Правильно: Родина-мать зовет. Родина-мать – подлежащее, зовет – сказуемое.
Возможны разные написания, выбор зависит от контекста. В приведенном предложении две заглавные буквы стилистически оправданны, они подчеркивают особый высокий смысл.
Правильно: Речица, речицкое пиво.
Правильно: в школе-интернате.
Это слово может быть написано с большой буквы в контексте, где ему приписывается особый высокий смысл.
Оба варианта возможны. См. также: Какой падеж нужен при отрицании?