Можно писать как кириллицей, так и латиницей в зависимости от стиля текста и аудитории. Корректно: жанр экшен, жанр ролевая игра, жанр шутер, жанр action, жанр shooter.
В ответе 226479 перед этим словом стоит так называемый, после этих слов кавычки не ставятся.
Верно: ролевАя.