Возможны разные написания, выбор зависит от контекста. В приведенном предложении две заглавные буквы стилистически оправданны, они подчеркивают особый высокий смысл.
Правильно: играет Робин Гуда.
Это часть обстоятельства места.
Возможно: шопинг в целях (ради, для) покупки платья.
О склонении географических названий см. в «Письмовнике».
При уточнении - нужна: Недавно я был у себя на родине, (а именно) в Перми.