Грамматически корректно: родился красивым.
Правильно.
Имеется в виду название поселка городского типа в Иркутской области? Это название склоняется, правильно: родился в Юртах.
Лучше: родился в Москве.
Корректно: в с. Крапивна. Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (здесь село среднего рода, Крапивна – женского).
Правильно: родился в г. Нахичевани-на-Дону.