В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Здесь сравнительный оборот что родник без воды играет роль сказуемого, поэтому запятая не ставится.
Следует руководствоваться правилами написания географических названий.
Например, фонтан.
Да, конечно. Это основное значение предлога у.