Правильно: Римка. Вместо двойной согласной пишется одна согласная буква в уменьшительных и фамильярных формах личных имен с суффиксом -к(а).
Да, фамилия Ринша склоняется (и мужская, и женская). Маргарите Ринше – правильно.
Мужская фамилия Римш склоняется.
Да, эта фамилия славянского происхождения. О ней в свое время рассказывала А. В. Суперанская.
Фамилия Римша склоняется (и мужская, и женская). А место ударения в фамилии определяет ее носитель.
В данном случае следует писать со строчной буквы.
Имя, отчество и фамилию директора можно выделить с двух сторон либо запятыми, либо двумя тире. Сочетание запятой и тире неудачно.
Постановка запятой не требуется.
Правильно: Древний Рим (государство) и древний Рим (город).
Жители современного Рима также римляне.