Верно: бейджей и беджей (как картриджей, коттеджей).
Правильное написание: бедж (именная карточка).
Вы написали правильно.
Р произносится мягко.
При решении вопроса о корректности написаний нужно учитывать официальное название организации. Если это Городское общество инвалидов, то правильно писать: члены Городского общества инвалидов. В других вариантах название пишется со строчной буквы: председатель общества инвалидов. Соответственно, если официальное название другое, например N-ская городская организация N-ской областной региональной организации общероссийской общественной организации «Всероссийское общество инвалидов», то и сочетание городское общество инвалидов нет оснований начинать с прописной буквы.
Рекомендация орфографического словаря: бедж.
Верно: бедж, нет беджей. Ср.: нет картриджей.
