Это родственные слова.
В цельном по смыслу выражении нет-нет да и запятая не ставится. Остальное правильно.
Правильно через дефис: релакс-музыка.
Как ни странно, прилагательное близкий - непроизводное (исходное), поэтому к- - это часть корня. Существительное близь ("то, что близко") - производное, образовано от прилагательного с усечением основы. С прочими приведенными Вами примерами такая же ситуация.
Оба варианта правильные.
Форма предложного падежа слова угол - на углу.