Как можно заметить по представленным примерам, выбор предлога зависит от используемого глагола. Нужно уточнять глагольное управление (т. е. выбор предлога) в словаре, в словарной статье, посвященной соответствующему глаголу.
Грамматически корректно: уравнение имеет n+1 решение, n+1 режим.
Роднит эти прилагательные то, что в греческих словах, к которым они восходят (synthesis 'соединение, составление' и synchronos 'одновременный'), выделяется одна и та же приставка syn 'вместе'.
Правильно: сказывается на общении.
Варианты равноправны.
Возможно: режим "мячик" или режим мячика. В остальных примерах написание без кавычек корректно.