На Москва-реке – разговорное употребление. Стилистически нейтрально (и предпочтительно в письменной речи): на Москве-реке.
Строгая норма: на Москве-реке, вариант на Москва-реке разговорный.
Несклонение первой части (по Москва-реке) допустимо в разговорной речи, однако строгой литературной норме соответствует вариант по Москве-реке.
Правильно: в Москве-реке. См. в Горячей десятке вопросов.
Оба варианта возможны, однако строгой литературной норме отвечает вариант со склоняемой первой частью.
Верно: по Москве-реке.
На Москва-реке – разговорное употребление. Стилистически нейтрально (и предпочтительно в письменной речи): на Москве-реке.
Склоняются обе части в наименовании Москва-река: Москвы-реки, на Москве-реке и т. д. В разговорной речи встречаются случаи несклоняемости первой части: за Москва-рекой, на Москва-реке и т. д. Но такое употребление не соответствует строгой литературной норме.
Правильно: по Москве-реке. По Москва-реке – разговорный вариант.