Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Дополнительные знаки препинания не требуются.
Запятая после тот нужна.
Предложение сложносочиненное с общим вводным словом, поэтому запятая перед и не нужна.