Нет, здесь другое правило. Буква о пишется в суффиксе имен существительных -онк-: книжонка, ручонка, рубашонка, распашонка.
Корректно: распахнула дверцу, напоминавшую; распахивает дверцу, напоминающую.
Верная пунктуация: «А сегодня совсем потеплело и весна!.. Распахни окно! А давай, — говорит несмело, — сходим вместе с тобой в кино?!.»
(Запятая перед и весна не ставится, так как у частей сложного предложения есть общий второстепенный член сегодня.)
Да, запятая поставлена правильно.