Верно: на мягкой скатной кровле.
Нет, название орудия катюша в кавычки не заключается.
Оба варианта верные.
Ваша логика рассуждений безупречна и подтверждается данными «Национального корпуса русского языка»: оба сочетания достаточно употребимы, хотя складной стул преобладает. См. здесь и здесь.