С полными формами причастий при отсутствии зависимых слов отрицание не пишется слитно. Таким образом, если в контексте нет слов, зависимых от причастия, верно: непобитый рекорд.

Верно: по количеству времени, проведенного без сна.

Можно поставить запятую или тире: Вот она, та самая цифра... Вот он, рекорд скорости. Вот она – та самая цифра... Вот он – рекорд скорости.

Требуется запятая перед установив.

Нужно исходить из контекста. Употребительно, если речь идет о мнении, точке зрения: (смотреть на что-либо) в правильном ракурсе, с правильного ракурса. Если речь идет о художественном приеме, то возможно: взять (фигуру, лицо) в определенном ракурсе.

Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» (а именно толково-словообразовательным словарём).

Тире не требуется.

Может быть, имеется в виду экскурс, а не ракурс?

В принципе такое сочетание возможно. Насколько верно оно отражает смысл, можно сказать, только зная контекст.