Название района не склоняется в сочетании с родовым словом: депутат района Преображенское.
В значении приуроченности к какому-либо событию, празднику: ко Дню района. Подробнее см. в «Письмовнике».
Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан.
Выбор формы зависит от контекста. Так, в официальных документах должность указывается в мужском роде, даже если речь идет о женщине: исполняющий обязанности главы района.
Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
Да, склоняется.
Правильно: Всеволожского района.
Правильно: кроме Таштагольского района. О склонении названий типа Кемерово, Белово см. в разделе «Азбучные истины».