Ваша логика рассуждений безупречна и подтверждается данными «Национального корпуса русского языка»: оба сочетания достаточно употребимы, хотя складной стул преобладает. См. здесь и здесь.
Запятая не нужна: неповторяющийся союз и соединяет однородные сказуемые.
Запятые расставлены верно.