Правильно с прописной буквы.
См. в «Письмовнике».
Верно: Поздравляю Вас с Днем медицинского работника.
См. ответ 290554.
Мужская фамилия склоняется, причем предпочтительно склонение без выпадения гласной: Заяца, Заяцу.
Первый вариант лучше.
Корректно: представить характеристику. Представить — дать, вручить для ознакомления, осведомления или официального рассмотрения, заключения.
Второй вариант значительно лучше.
Правильно: Указом президента 25 марта объявлено Днём работника культуры.