Если имеется в виду "праздничное мероприятие, посвященное Петрову дню", то уместно использование кавычек.
Инициалы разделяются пробелами.
Пунктуация зависит от контекста. В целом двоеточие здесь уместно.
В подписи предпочтителен вариант с запятой; существительное директор здесь играет роль поясняющего приложения. Если перед нами предложение, где Петр Петрович Петров — подлежащее, директор — сказуемое, то нужно поставить тире.
Двоеточие может ставиться в деловых и научных текстах. Если текст не научный или деловой, то двоеточие точно не нужно.
В соответствии с требованиями к оформлению научных работ такая конструкция может быть оформлена как со знаком препинания (двоеточием), так и без него.
Если Вы привели предложение полностью, то нужно поставить тире.