Правильно: Пушкинский заповедник.
Если имеются в виду места Оренбурга, связанные с Пушкиным, прилагательное следует писать с маленькой буквы.
Слово допушкинский образовано приставочным способом от прилагательного пушкинский.
Слово пушкинский следует писать с маленькой буквы.
Лучше: среди пушкинских цыган.
Да, это сочетание пишется с маленькой буквы: пушкинская эпоха.
Большинство словарей рекомендует ставить ударение на первый слог. Однако, по-видимому, норма меняется. В «Грамматическом словаре» А. А. Зализняка (М., 2008) уже допускается оба варианта, а в «Словаре трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера (М., 2016) вариант с ударением на втором слоге дан как предпочтительный.
Название заповедника Столбы в кавычки не заключается.
Да, тире необходимо.