Если имеются в виду места Оренбурга, связанные с Пушкиным, прилагательное следует писать с маленькой буквы.

Слово допушкинский образовано приставочным способом от прилагательного пушкинский.

Правильно: Пушкинский заповедник.

Слово пушкинский следует писать с маленькой буквы.

Лучше: среди пушкинских цыган.

Да, это сочетание пишется с маленькой буквы: пушкинская эпоха.

Правильно: Пушкинские Горы.

Да, это название можно отнести к исключениям. В официальных составных названиях органов власти, уч­реждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведе­ний, обществ, политических партий и т.п. с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные, а также первое слово включаемых в них названий других учреждений и организаций.

Правильно: Институт русской литературы РАН (Пушкинский Дом).

Можно (то есть никто не запретит), но это за рамками литературного языка.