Правильно: Первый крестовый поход.
Знаки препинания расставлены верно.
Нет, в этом выражении имеется нарушение лексической сочетаемости. Корректно: оказывать помощь, осуществлять уход.
Правильно: на пуху.
В подобных сочетаниях, представляющих из себя номенклатурные наименования, запятые не ставятся.
Верен первый вариант.