Орфографически верно написание Печоры, Псково-Печорский монастырь. Вариант написания названия через е существует, тем не менее все доступные нам орфографические и энциклопедические словари фиксируют только написание через о.
Это название имеет варианты написания, но в академическом орфографическом словаре, размещенном на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН. закреплено: Псково-Печорский монастырь.
Прилагательное бенедиктинский есть, сочетание бенедиктинский монастырь зафиксировано в словарях.
Это название не закреплено орфографическими словарями. Правилу соответствует слитное написание и именно оно употребляется в Большой российской энциклопедии и Православной энциклопедии.
Написание без кавычек правильно: монастырь Коренная пустынь.
Верно: монастырь Святого Николая.
Верно: Ново-Тихвинский.
Правильно: Новоиерусалимский монастырь.
Корректно: кража в монастыре.