Да, первая часть псевдонима склоняется, например: судьба Маты Хари.
Обе части псевдонима Аль Бано не склоняются, как и компоненты имени Аль-Капоне.
Знаки препинания расставлены верно. Поскольку указаны два псевдонима, лучше немного перестроить предложение: Кари́на Лазарья́нц, более известная под псевдонимами Кари́на Кросс и KARA KROSS, — российский видеоблогер, певица, актриса.