Корректно: Дельфийские игры.
Правильно: Азиатские игры.
Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).
При официальном титуловании правильно: Патриарх Московский и всея Руси. Вне такого употребления слово патриарх пишется со строчной, например: патриарх Кирилл, прием у патриарха.
Если имеется в виду товарное наименование сыра, то см. вопрос 282975.
Если имеется в виду сыр, произведенный в Голландии, верно: голландский сыр.
Слово секретариат пишется с прописной буквы как первое слово официального названия организационно-руководящего органа международного объединения, например: Секретариат Совета Европы. В значении "отдел учерждения, организации; орган совещания, конференции и т. п." слово секретариат пишется со строчной буквы: секретариат съезда.
Следует писать строчными буквами.