Правильно: Илья-пророк.
Да, это название склоняется (см. словарную фиксацию). Правильно: приток Ред-Ривера.
Устойчивое выражение нет пророка в своем отечестве означает, что заслуги своих близких людей, соотечественников люди часто не ценят, отдавая предпочтение авторитетам со стороны.
Правильно: промок под дождем.
С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: приток Зигана, но приток реки Зиган.
К сожалению, словарной фиксации найти не удалось.
Думаем, в заголовке в этом случае возможно обойтись без кавычек.
В значении 'течение, ход мыслей' кавычки не нужны.