Можно поставить интонационное тире, но вряд ли уместно двоеточие.
Правильно: Азиатские игры.
Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).
Корректно: Дельфийские игры.
Следует писать строчными буквами.
Это правильное сочетание.