Это главный член односоставного (назывного, номинативного) предложения.
Кавычки не требуются. Слово пробиться в значении "после долгих усилий достичь хорошего общественного положения" зафиксировано в словарях.
Трудно представить наглядно такую ситуацию. За секунду автомобиль преодолевает какое-то расстояние, не так ли? Какое расстояние?
Корректно выделить приложение запятой перед еще студент.
Это однородные приложения, запятая ставится.