Правильно: Илья-пророк. 

Такое согласование некорректно. ЕГЭ – звуковая аббревиатура, заканчивающаяся на гласный. Она расшифровывается как единый государственный экзамен, поэтому правильно: пробный ЕГЭ.

Устойчивое выражение нет пророка в своем отечестве означает, что заслуги своих близких людей, соотечественников люди часто не ценят, отдавая предпочтение авторитетам со стороны.

Такое употребление допустимо в непринужденной разговорной речи, но не в нейтральных контекстах и тем более не в официальной речи.

Правильно: читать "Ежедневный пророк". 

При наличии родового слова такие наименования следует заключать в кавычки, но писать со строчной буквы: увидел символы "инь-ян", "уроборос" и "волчий крюк". И мы бы не рекомендовали игнорировать родовое слово, так как без него смысл текста окажется не вполне понятным. 

Ваше написание корректно, если в тексте второе слово этого сочетания является именем собственным (индивидуальным именем змея). Если же оно имеет значение символа, отвлеченной идеи, выраженной изображением змея, глотающего собственный хвост, то корректно написание со строчной буквы: змей уроборос.