Запятые не требуются.

Союз и в обоих предложениях можно рассматривать как повторяющийся, соединяющий однородные члены, тогда между однородными членами нужна запятая, которая будет соответствовать перечислительной интонации, с логическим ударением на обоих словах, соединенных союзом, с паузой между ними. 

В первом предложении возможно запятую не ставить. Правило таково: «При двух однородных членах предложения с повторяющимся союзом и запятая не ставится, если образуется тесное смысловое единство (обычно такие однородные члены не имеют при себе пояснительных слов): Кругом было и светло и зелено (Т.); Он носил и лето и зиму старую жокейскую кепку (Пауст.); Прибрежная полоса, пересечённая мысами, уходила и в ту и в другую сторону (Сем.); Он был и весел и печален в одно и то же время» (Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 13). При такой пунктуации однородные члены будут представлять собой интонационное целое. 

Употребление тире при деепричастном обороте не кодифицировано справочниками, однако встречается в практике письма. Специалист по русскому деепричастию О. М. Чупашева в одной из статей отмечает, что с помощью тире пишущий актуализирует уступительные, условные (как в Вашем примере), временны́е, противительные отношения деепричастного оборота с остальным предложением. Такое употребление тире вполне уместно.

При уточнении - нужна: Недавно я был у себя на родине, (а именно) в Перми.

Верно: Нам удалось зарекомендовать себя как надежного поставщика.

Правильно: ...в одно и то же место.

Корректны оба варианта.

О выборе падежа при глаголах с отрицанием см. в «Письмовнике».

Запятая перед как не требуется.

При подлежащем, имеющем в своем составе собирательное существительное с количественным значением (большинство, меньшинство), сказуемое может стоять в единственном и множественном числе. Сказуемое обычно ставится в единственном числе: 1) если собирательное существительное не имеет при себе управляемых слов (большинство голосовало) ; 2) если собирательное существительное имеет при себе управляемое слово в родительном падеже единственного числа (большинство населения голосовало); 3) сказуемое ставится как в форме единственного, так и в форме множественного числа, если собирательное существительное имеет при себе управляемое слово в родительном падеже множественного числа (большинство депутатов голосовало / голосовали).
При подлежащем половина сказуемое обычно ставится в форме единственного числа.