Да, это название склоняется (см. словарную фиксацию). Правильно: приток Ред-Ривера.
С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: приток Зигана, но приток реки Зиган.
К сожалению, словарной фиксации найти не удалось.