Нормативные словари указывают для этого выражения только ударение пить из го́рла, однако словари разговорной речи фиксируют формы с/из горла́.
Возможны оба варианта. При наличии паузы можно поставить интонационное тире. Выбор за автором.
Да, под горку то же, что с горки, т. е. вниз.
В этом предложении числительное является определением с поясняющим значением: с новым, то есть 2017 годом. В таких конструкциях ставится одна запятая – между двумя определениями.
Во фразе С новым, 2017 годом поздравляем! порядок слов неудачен (ср.: Поздравляем с новым, 2017 годом!). Но если необходимо его сохранить, то запятая должна быть одна.
Верно: встретимся в новой кафе-закусочной.
Да, в этом случае слово новый должно быть написано с маленькой буквы.
Правильно: на гору, допустимо: на гору.
Правильно: в новом году.
