Правильно: в половине случаев. Половина – существительное, управляет существительным случай; семь – числительное, согласуется с существительным случай.
Скорее всего, название связано с числом шесть. К сожалению, пока что убедительной версии, объясняющей происхождение этого слова, нам найти не удалось.
Собственно, именно эти два варианта и приводят справочники. Какое из этих объяснений более правдоподобно - неясно.