Возможны оба варианта.
Склоняется как мужская, так и женская фамилия Гетта.
Верно: без права передачи.
Предложение построено неудачно, так как может быть воспринято буквально. Можно вставить в предложение имя: Пока Иван Иванович, правая рука начальника, встречал гостей...
Корректно согласование в дательном падеже.
Сочетание сдать на права корректно и зафиксировано словарями русского языка.