Оба варианта верны.
Вы правы, верно: управляющая баром, принята на должность управляющей баром.
Правильная форма родительного падежа: Багам.
Нет, не является. В сочетании по парам существительное пара имеет достаточно узкое значение "два лица, к-рые действуют, находятся вместе, объединённые чем-л. общим, рассматриваемые как нечто целое" и узкую лексическую сочетаемость (разбить по парам).
Это будет некорректно. Возможные варианты: разбить на пары и по парам.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
В этом случае обособление обстоятельства времени по будням факультативно (см. параграф 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).
Каково в данном случае значение слова бар?
Кавычки не нужны.
