Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).
1. Возможны оба варианта. При оборотах, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с», сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа. Форма множественного числа показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается взаимосвязанным равноправным субъектам. Форма единственного числа показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия. Итак, в зависимости от смысла: Бабушка с внучкой пошли – если речь идет обо всех участниках действия. Бабушка с внучкой пошла – если речь идет в первую очередь о бабушке.
2. При наличии в конструкции слов вместе, совместно употребляется форма единственного числа сказуемого: Бабушка совместно с внучкой создала.
Ножницы и брюки – непарные предметы (в отличие от ботинок, носков и др.). Однако в разговорной речи слово пара употребляется в значении 'предмет, состоящий из двух одинаковых, соединённых вместе частей'. Пара ножниц и пара брюк в разговорной речи – одни ножницы и одни брюки.
Пойдем – общеупотребительный и стилистически нейтральный вариант, пошли – разговорный, допустимый в непринужденной устной речи.
В разговорной речи возможна замена "пойдем" на "пошли".
См. в «Письмовнике».
Строгая литературная норма: носков, но в последние годы некоторыми словарями вариант носок тоже признается допустимым (раньше он запрещался).
