Верно: Подкладывать дрова в костер.
Верно: Я бы хотел иметь какое-нибудь животное, чтобы ухаживать за ним.
Нужна запятая перед союзным словом как: В статье расскажем, как ухаживать за животными.
Запятая не нужна. Запятая не ставится в сложносочиненном предложении, если его части представляют собой вопросительные предложения.
В слове ухажёр буква а пишется именно потому, что это существительное образовано от глагола ухаживать в его особом значении "оказывать внимание (девушке, женщине), стараясь добиться её расположения, взаимности". В корнях всех слов, связанных с этим значением, пишется а.
Запятая не ставится.