Оба варианта верны.
Лучше: Как не потерять лицо?
Верно (если речь об одном и том же лице): для себя.
Верно: Назначить ответственное лицо... А лучше: Назначить лицо, ответственное за содержание в исправном состоянии.
Верно: Должностное лицо юридического лица, директор Иванова И. И., уведомлено.
Существительное лицо в словосочетании физическое лицо – одушевленное.